第2-1回　関数の捉え方

計算分野も終わり、今回から関数を扱っていきます。

前回まではどの分野にも通じる基礎的な部分、という雰囲気が強かったですが、今回からはいよいよ分野ごとの特色が強まってくる感じですね。

関数と言えば、公立高校では大問２番、私立でも大問１つを割いて問われることの多い分野です。そして、関数・平面・立体という受験三大分野の中で最も得点しやすいところでもあります。

今回は、次回以降の基礎となる「関数ってそもそも何？何を整理すれば良いの？問題をどう捉えれば？」という基本的なところをつかんでいきましょう。

今回のポイントはこちら。

関数って何だ？

ｘとｙは対等！？

関数とは何か？という話は、初めて関数を習う際に色々なたとえを使って教えられた記憶があると思います。バリエーションはあるにせよ、だいたい「数字を入れると、それを色々加工して返してくれるもの」みたいな感じではないでしょうか。

そのイメージは間違ってはいません。むしろ正しいです。

ただ、関数という”考え方”ではなく、関数の式（たとえばｙ＝２ｘのような）を扱うときはもっとシンプルに「２つの変数の関係」だと理解した方が良いでしょう。なぜなら、ｘとｙの役割はある意味対等だからです。

対等とはどういうことかと言うと、ｘを決めればｙの値が出てくるし、ｙを決めれば（１つとは限らないにせよ）ｘの値が出てくるということです。

「ｘが入力でｙが出力」という感覚でいると、逆にｙの値からｘが出せるという感覚がぱっと出てこなくなりがちです。あくまで、関数の式ではどっちからでももう一方を出せるのです。

関数のグラフ

関数のグラフについても、その捉え方をここで改めて教えておきましょう。

関数のグラフとは、同じｘとｙの関係（同じ関数の式）を持った点の集まりです。
逆に言えば、グラフ上の点は全て同じｘとｙの関係（同じ関数の式）を持っています。
（以下のグラフのようなイメージ）

当たり前じゃんって思いましたか？そうです、当たり前です笑

ただ、この捉え方を普段からしておくことで「この点はこのグラフ上にあるのか…じゃあこういう意味（こういうｘとｙの関係）があるんだな」ということを明確に意識できます。（慣れない子はこの捉え方ができないせいで問題が解けないことが多いです…）

点がどのグラフ上にあるか？はどの問題でも大事なところですから、きっちり捉えられるようにしましょう。

関数の図形的側面

多くの人が気づいていると思いますが、関数の問題には９９％図形が絡んできます。

関数のグラフって、最初は「ｘの値が○○のとき、ｙはどういう値をとるか」というまるで棒グラフとか円グラフみたいな感じで登場してきましたよね。３月の売り上げは１０万円です、みたいな。

それがいつの間にか、関数のグラフを使って三角形を考えたり四角形を考え出したりし始めて…「なんでグラフを組み合わせて図形を考えなきゃいけないん？折れ線グラフとか円グラフ使って三角形のこと考えたりするやつおらんやろ」って思ったことがあるのではないでしょうか。僕はあります。

でも実はこれ、ちゃんとした理由があるんです。

それは、グラフそのものというよりｘｙ座標が優秀すぎたからなんですね。
優秀というのはつまり、ｘｙ座標を使うと、どんな図形が、どんな大きさで、どんな場所にあるかが座標を指定するだけで表せるということです。

たとえば、

という３つの三角形があったとしましょう。
この三角形同士がどんな位置関係にあって、どんな大きさなのか…ちょっとどう説明するか考えてみてください。辺の長さを調べるにせよ、三角形同士の距離をはかるにせよ、ちょっと厳しそうですよね。

ただこれ、座標を使えば一発です。

こう書けば、誰が見ても明らかな方法でこの３つの三角形がどんな大きさで、どんな位置なのか表現できています。
つまり、ｘｙ座標は図形を表現するのに非常に便利なのです。

さらにこの”座標”という情報は、他にもいろんな情報を教えてくれます。
辺がどんな長さかを知りたければ、三平方の定理を。
辺がどんな傾きかを知りたければ、変化の割合を。
他にもいろいろな図形に関する情報を、座標を使って計算することで得ることができます。

これまで実際に測るしかなかった長さや傾きなどが、計算で求められるというのは非常に大きなことです。また別の言い方をすれば、図形という複雑なものをただの計算問題に帰着させるというのが座標の本質だということです。

そして関数のグラフとは座標の集まりであり、関数の式は座標のx座標とy座標が満たす関係なのでした。点が集まれば線になります。つまり関数とは、座標という”点”の情報をグラフという”線”の情報にレベルアップしたものだと捉え直すことができます。こうして、線が平行・垂直であることや、線同士の交点なども計算で考えることができるようになるのです。

まとめると、「関数とｘｙ座標によって、私たちは”点”と”線”という２つの図形を”座標”と”式”で表現し、計算で考えることができるようになりました。あとは実際にいろんな例を計算で考える練習をしましょうね」…というのが関数のストーリーなのです。関数が図形と深い関係がある理由が、これではっきりしましたね笑

関数の問題をどう学んでいくべきか

以上の話を踏まえ、関数の問題で何を意識して学んでいくべきか、という話をしてこの記事を締めくくりましょう。大事な点は２つだけです。

この２点を意識して学んでいくことが、受験数学で関数をマスターするための近道です。
ここまで記事を読んできた人なら、座標と式による表現・計算がどれだけ大事なのか理解できたことでしょう。

今回は「何がしたくて関数を使うのか」というお気持ちの話がメインとなってしまいましたが、案外個のお気持ちが大事なのでしっかり確認しておいてくださいね。

それでは次回から、上の二点を意識しつつより具体的なポイントを学んでいくこととしましょう。

今回の宿題

1. 関数関連の定義・定理

を、今回の説明を意識して読み直してみてください
学校で配られた教科書でも、ネット上の記事でも大丈夫です。