【過去問】2020(令和2)年 都立青山高校 数学【前編(大問1,2)】

2020年度(令和2年度)都立青山高校の入試で出題された数学の解説をします。今回は大問1，2の解説です。
大問3，4はこちら。

大問1は基本的な問題ばかりでしたが、資料の整理の問題が出てきたことにびっくりした人も多いかもしれません。

大問2は特におおきなひねりも無く、典型的な関数の問題をポイント通り処理できるか？というのが問われています。分からないポイントがあった人は、適宜ポイントノートで確認しておきましょう。

今回初出のポイントはこちらです。

大問1

問1，2，4は簡単なので省略します。

問3は、ポイント「サイコロ2つの時は、マス目状の図で数え出せ！」を用いて数え出しましょう

問5

問題文

下の図は，線分 AB を直径とする半円である。点 P は AB 上にあり，∠PAB=30°を満たす点である。解答欄に示した図をもとにして，弧AB 上にあり，∠PAB=30°となる点 P を定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 P の位置を示す文字 P も書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

問題文中の30°に反応するのがまずポイントです。この段階で、もしかしたら特別角の三角形を利用するのかなぁ…と頭の隅に置いておきます。

次に、∠BAPは円周角であることに気をつけます。円周角や中心角は行ったり来たりできるようにするのがポイントですから、この∠BAPを、中心を点Oとして∠BOPにうつしてみると…正三角形BOPが見えますね。今回は特別角の三角形をそのまま使うわけではないですが、それに近しい正三角形を利用するようです。

以上の考察より作図の手順は、

1. 線分ABの中点として、中心Oを作図する。
2. OBの長さをコンパスで移すことにより、正三角形BOPを作る。

となります。作図した結果は以下の通りです。

ちなみに、2020年度立川高校でも似たような作図が出てきていたので見ておくと良いでしょう。

大問2

問題文

下の図 1 で，点 O は原点，曲線 f は関数 y=\frac{1}{2}x^2 のグラフ，曲線 g は関数 y=ax^2 (a>0)のグラフを表している。2 点 A，P はともに曲線 f 上にあり，点 Q は曲線 g 上にある。点 A の x 座標は -2 であり，点 P の x 座標を p，点Qの x 座標を q とする。原点から点（1，0）までの距離，および原点から点（0，1）までの距離をそれぞれ 1 cm として次の各問に答えよ。

〔問 1 〕下の図 2 は，図 1 において a=\frac{2}{7} ，p=0 の場合を表している。点 P と点 A，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。このとき，∠APQ=90°となるような点 Q の座標を求めよ。

〔問 2 〕 p>0，q>0 のとき， 2 点 A，P を通る直線を引き，直線 AP と曲線 g の交点を点 Q と
する。次の (1) ，(2) に答えよ。

(1) 下の図 3 は図 1 において，p=1，点 Q のy 座標が \frac{4}{5} となるような場合を表している。このとき，a の値を求めよ。

(2) 下の図 4 は図 1 において，点 Q の y 座標が 6 ，（△AOQ の面積）:（△AOP の面積）= 2：3となるような場合を表している。このとき，q の値を求めよ。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

問1

座標の上での直交（∠APQ＝90°）が出てきましたから、傾きの積が-1となっていることを思い出しましょう。

傾きの積が-1という式を立てるには、まず傾きを出す必要がありますね。点A(-2,2)、点Q(q,\frac{2}{7}q^2)ですから、

• OAの傾きは、変化の割合より-1
• OQの傾きは、変化の割合より\frac{2}{7}q

したがってこれらの積が-1になることより、q=\frac{7}{2}です。よってQ(\frac{7}{2},\frac{7}{2})となります。

問2

(1)

3つの点A,P,Qが一直線上にあるという条件に注目してみましょう。

一直線上にあるということは、点A,Pを選んで変化の割合を調べても、点A,Qを選んで変化の割合を調べても、点P,Qを選んで変化の割合を調べても、全て同じ値が出てくるはずです(変化の割合は傾きに等しいので)。

この考え方は言われてみれば当たり前なのですが、地味によく出てくるのでポイントにしておきます。

さてこれを使うと、点A,Pの変化の割合と、点A,Qの変化の割合をイコールで結んだ等式が作れるはずです。点Qのｘ座標をｑとすると、

• 点A,Pの変化の割合は-\frac{1}{2}
• 点A,Qの変化の割合は-\frac{6}{5(q+2)}

と表せますから、

-\frac{1}{2}=-\frac{6}{5(q+2)}\\
\therefore\ 5(q+2)=12\\
\therefore \ q=\frac{2}{5}

となり、Q(\frac{2}{5},\frac{4}{5})であると分かります。

あとはこれがy=ax^2上にあるときを考えれば良いわけですから、

a\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{5}\\
\therefore \ a=5

したがって答えはa=5となります。

(2)

問題文に面積比が出てきていますが…△AOQと△AOPは(直線APを底辺として)高さが共通の三角形です。そのような場合、面積比は底辺の長さの比に等しいですから、AQ:AP＝2:3と言えます。

ここで、比は軸に飛ばせ！というポイントを思い出しましょう。今回点A,P,Qの座標はそれぞれ

• A(-2,2)
• P(p,\frac{1}{2}p^2)
• Q(q,6)

であることに注意すると、ｘ軸に飛ばした比より

(q+2):(p+2)=2:3

です。ここで未知数が2つありますから、もう1つ式を立てたいですね。というわけでｘ軸だけでなくy軸の方にも比を飛ばしてみると、

(6-2):(\frac{1}{2}p^2-2)=2:3

となります。したがってこれら2つの式を整理して連立すると、

\left\{
\begin{aligned}
2p-3q&=2\\
p^2&=16
\end{aligned}
\right.

ただしp>0です。よってこれを解くと、p=4,q=2と分かり答えとなります。