【過去問】2020(令和2)年都立立川高校数学【前編(大問1,2)】

この記事に掲載されている過去問の問題文や図は、高校の公式HPからの引用です。
元の問題を見たい人は以下のボタンから問題・解答に飛ぶことができます。

問題はこちら（公式HP）

解答はこちら（公式HP）

2020年度都立立川高校の入試で出題された数学の解説をします。今回は大問1，2の解説です。
大問3，4はこちら。

大問1では解と係数の問題が問3で出てきました。解と係数の関係を使わなくても解けますが、知っていれば早いですからこれを機に定着させておきましょう。

大問2のポイントは等積変形でした。問1、問2は簡単だったものの、問3で少し引っかけてくる問題が出てきました。細かい問題設定の違いに気づき、適切に対処することが求められたと思います。

大問1
1. 問3
2. 問5
大問2
1. 問2
2. 問3

大問1

問1，2，4は簡単なので省略します。

問3

問題文

xについての2次方程式 $x^2+24x+p=0$ を解くと，1つの解はもう1つの解の3倍となった。p の値を求めよ。

まず「1つの解はもう1つの解の3倍」というのを表現しなければいけませんね。1つの解、というのがなんなのか分かりませんからこれを $\alpha$ と置きましょう。すると二次方程式の解は $\alpha , 3\alpha$ と表すことができます。

いま、未知数はpと $\alpha$ の2つです。よって式を2つ立てれば良いわけですが…二次方程式の解を用いて式を立てると言えば、解と係数の関係でした。これを使うと、

\left\{ \begin{aligned} \alpha+3\alpha&=-24\\ \alpha\times3\alpha&=p \end{aligned} \right.

となります。1式目から $\alpha=-6$ となり、これを2式目に代入してｐ＝108と分かります。

問5

問題文

下の図のように，線分 AB を直径とする半円がある。解答欄に示した図をもとにして， $\stackrel{\frown}{AB}$ 上に $\stackrel{\frown}{AC}$ ： $\stackrel{\frown}{CB}$ ＝ 5：1 となる点 C を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 C の位置を示す文字 C も書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

作図自体はシンプルで、弧の比が5：1になればいいわけです。ここでポイント「円周角・中心角・弧の長さは互いに行ったり来たりできるように！」を思い出しましょう。これを使えば、 $\stackrel{\frown}{AC}$ ： $\stackrel{\frown}{CB}$ ＝ 5：1より、円の中心をOとして∠AOC:∠BOC＝5：1、つまり∠BOC=30°となるように作図すれば良いと気づきます。

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30°と言えば1:2:√3の特別角の三角形であり、それは2つ重ねれば正三角形になります。よって正三角形を作ってから、角の二等分線で30°を作れば良いですね。従って作図の手順は、

ABの中点Oを作図し、
OBを1辺とする正三角形を作図し、
角Oの二等分線を引く。

となります。

大問2

問題文

下の図 1 で，点 O は原点，曲線ℓは $y=ax^2$ （a ＜ 0），曲線 m は $y=\frac{36}{x}$ （x ＜ 0）のグラフを表している。曲線ℓと曲線 m との交点を A とする。次の各問に答えよ。

〔問 1〕点 A の x 座標が－3 のとき，a の値を求めよ。

〔問 2〕下の図 2 は，図 1 において，点 A の x 座標を -4，y 軸を対称の軸として点 A と線対称な点をB，y 軸上にある点を C とし，点 O と点 A，点 O と点 B，点 A と点 C，点 B と点 C をそれぞれ結んだ四角形 OACB がひし形となる場合を表している。2 点 B，C を通る直線と曲線ℓとの交点のうち，点 B と異なる点を D とした場合を考える。点 D の座標を求めよ。ただし，答えだけでなく，答えを求める過程が分かるように，途中の式や計算なども書け。

〔問 3〕下の図 3 は，図 1 において点 A の x 座標とy 座標が等しいとき，曲線 m 上にあり，x 座標が -12 である点を E，曲線ℓ上にあり，2 点 A，E を通る直線 AE 上にはなく，点 O にも一致しない点をP とし，点 O と点 A，点 O と点 E，点 A と点 E，点 A と点 P，点 E と点 P をそれぞれ結んだ場合を表している。△OAE の面積と△AEP の面積が等しくなるときの点 P の x 座標を全て求めよ。

問1は簡単なので省略します。

問2

欲しいものは点Dの座標です。これを得るために必要なものを逆算して考えていきましょう。

点Dは直線BCと曲線ℓの交点です。交点の座標を出すのに必要なのは、それぞれのグラフの式ですね。

直線BCの式を出すには点Bと点Cの座標があれば良いです。そしてそれらは点Aの座標さえ分かれば求められそうですね。

曲線ℓの式を求める、つまりaの値を求めるには二次関数が通る点が1つ分かれば十分ですから、これもまた点Aが分かれば十分でしょう。

と、ここまで考えれば解答までの道筋が見えますね。では実際に解いていきましょう。

まず関数mの式から点Aの座標を求めると、A(-4,-9)となります。曲線ℓはこの点Aを通るので、曲線ℓの式は $y=-\frac{9}{16}x^2$ です。

点Aの座標より、点B(4,-9)となります。点Cはひし形AOBCの頂点ですから、点C(0,18)です。ここまで来れば変化の割合と定点公式より、 $y=\frac{9}{4}x-18$ となります。

ここまで来ればあとは $y=-\frac{9}{16}x^2$ と $y=\frac{9}{4}x-18$ を連立するだけです。この連立方程式を解くと、x=-8,4です。x=4は点Bのことを示しているので、点DはD(-8,-36)であると分かります。

問3

一辺を共有する面積の等しい三角形は、等積変形を使え！というポイントがあったとおり、これは完全に等積変形の問題です。

等積変形をするなら、まず底辺の傾き（今回はAE）が分からなければいけませんから、点A,Eの座標をまず求めにいきます。

点Eは問題文よりE(-12,-3)ですね。点Aは「x 座標とy 座標が等しい」とありますから、点A(p,p)と置いて、これが $y=\frac{36}{x}$ （x ＜ 0）にあることを考えましょう。すると、

\begin{aligned} p&=\frac{36}{p}\\ \therefore \ p^2&=36\\ \therefore \ p&=-6\ (<0) \end{aligned}

となって、A(-6,-6)となります。よってAEの傾きは変化の割合より $-\frac{1}{2}$ です。

また問1，問2のように点Aを使って曲線ℓの式を求めると、 $y=-\frac{1}{6}x^2$ です。あとはこの曲線ℓと、AEと同じ傾きで点Oを通る直線（つまり $y=-\frac{1}{2}x$ ）の交点を求めれば…おしまい、ではないんです。

問題文で赤線を引いたところを見てください。今回、点Pが動く範囲はふつうの等積変形の問題より広く設定されています。したがって、直線AEに対して点Pが点Oと同じ側にない場合、と言うのも考えなければいけません。つまり以下のような場合のことです。

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というわけで結局、今回点Pの場所としてありうるのは、

直線AEと平行で点Oを通る直線ｓと、曲線ℓの交点
「直線AEと平行で直線AEより下側にあり、直線AEとの距離が、直線AEとｓの距離と同じ直線ｔ」と、曲線ℓの交点

です。それぞれの直線にｓ, ｔと名前を付けてあります。

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直線ｔの式は、この場合と同じように考えればよいです。直線AEの式が $y=-\frac{1}{2}x-9$ であり、切片と点Oとの距離は9ですね。よってその二倍を考えて $y=-\frac{1}{2}x-18$ が直線ｔの式となります。

従って、 $y=-\frac{1}{6}x^2$ と $y=-\frac{1}{2}x$ 、 $y=-\frac{1}{6}x^2$ と $y=-\frac{1}{2}x-18$ をそれぞれ連立すれば、答えはx=-9,3,12であると分かります。