【過去問】2020(令和2)年 都立国立高校 数学【前編(大問1,2)】

2020年度都立国立高校の入試で出題された数学の解説をします。今回は大問1，2の解説です。
大問3，4はこちら。

大問1は作図の問題にひとクセありました。垂線を一回作ってその長さを取ってくるのが思いつきづらいですね。このように作図を完成させるまでにワンクッション挟まなければいけないものは難しくなりがちです。その他は簡単でした。

大問2では初っぱなから変域が出ました。簡単なのにど忘れしちゃう受験生が多い、変域に0を含むパターンです。論述は簡単でしたが、問2（2）は工夫しないと計算がめんどくさくなります。パターンじゃなくてきちんと数学を使いこなせるかどうか？が問われている感じがしますね。

今回初出のポイントはこちらです。

大問1

問1，2，3は基本的なので省略します。

問4

問題文

下の図1に示した立体ABCDは、1辺の長さが6cm の正四面体である。辺 AB上にある点をP，Q，辺CD上にある点をMとする。点 P と点 M，点 Q と点 M をそれぞれ結ぶ。AP=2cm，BQ=2cm，CM=3cm とするとき，次の ⑴，⑵ に答えよ。

（1）下の図 2 は図 1 において，平面 ABM 上にある辺 ABおよび点 P，点 Q を表している。解答欄に示した図をもとにして（注：図2のことです），図 1 の平面 ABM 上にある △PQM を定規とコンパスを用いて作図せよ。また，頂点 M の位置を示す文字 M も書け。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

（2）下の図 3 は図 1 において，辺 AD 上に点 R をとり，点 P と点 R，点 R と点 M をそれぞれ結んだ場合を表している。PR+RM =lcm とする。lの値が最も小さくなるとき，lの値を求めよ。

（1）

(1)はあまり無いタイプの作図なので一瞬どんな方針にしようか戸惑っちゃいますね。
まずは作図のポイントを述べておきましょう。

今から作図しようとするものの特徴をきちんと書き出して整理すると、どう作図しようかという方針が見えやすくなることが多いです。
というわけで書き出してみると…

となります。線分AMが正三角形ACDの垂線となることは、点Mが中点であることと正三角形（二等辺三角形）の性質より明らかです。よって三平方の定理よりAM=3\sqrt{3}であると分かります。もちろん、正四面体の対称性よりBMについても同じことが言えて、AM=BMなのですね。

ここまで来ると、コンパスで3\sqrt{3}が作れれば、点Bと点Aを中心とする半径3\sqrt{3}の円の交点としてMが作図できると分かります。

では3\sqrt{3}をどう作るか。\sqrt{3}とは特別角の三角形に出てくる数字だったことを思い出せば、このポイントより特別角の三角形を利用すれば良いのだと分かります。つまり作図の手順は、たとえば、

1. 辺ABを辺に含む正三角形ABNを作図する。
2. 点Bから辺ANに垂線を下ろし、垂線の長さ（これが3\sqrt{3}）をコンパスで取る。
3. そのまま点AとBを中心に2つの円を描き、その交点のうち、点P,Qの立体状での位置関係に気をつけて、上側の点をMとする。

といったふうにすれば良いでしょう。

（2）

(2)は完全に頻出問題ですね。立体表面の最短経路を問われていますから、このポイントより展開図を書き、PQを直線で結んだものが最短経路です。

PQの長さをどのように出すか瞬間迷います。ここで新しいポイントです。

斜めという単語に””がついているのは、「xy座標のように垂直な線または平行な線があるとき、それに対して」斜めであるという意味です。今回は四角形ABDCが平行四辺形ですから、このケースに当てはまります。実際点Qから垂線を下ろしてみると、

となり、直角三角形が現れて三平方の定理が使えます。今回はうまいこと垂線の足が点Aに一致するので計算は簡単で、PQ=\sqrt{2^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{31}ですね。

大問2

問題文

下の図1で，点 O は原点，曲線 f は関数 y=-\frac{1}{2}x^2 のグラフを表している。原点から点（1,0）までの距離，および原点から点（0,1）までの距離をそれぞれ1 cm とする。次の各問に答えよ。

〔問1〕関数y=-\frac{1}{2}x^2において，x の変域が-2≦x≦4であるとき，y の最大値から最小値を引いた値を求めよ。

〔問2〕下の図 2 は図 1 において，x 軸上にあり，x座標が正の数である点を A，曲線 f上にあり，x 座標が正の数である点を P とし，点 O と点 P，点 A と点 P をそれぞれ結んだ場合を表している。OP = PA のとき，次の ⑴，⑵ に答えよ。

⑴　∠OPA = 90°であるとき，OP の長さは何 cm か。ただし，答えだけではなく，答えを求める過程がわかるように，途中の式や計算なども書け。

⑵　下の図 3 は図 2 において，点 A を通りx 軸に垂直な直線上にある点で，y 座標が \frac{15}{2} である点を Q，直線 AP と曲線 f との交点のうち，点 P と異なる点を R，点 Q と点 R を通る直線と曲線 f との交点のうち点 R と異なる点を S とした場合を表している。RS：SQ = 3：2であるとき，点 P の x 座標を求めよ。

問1

これは典型問題で、このポイント通り定義域に0が含まれていることに注意すれば十分です。x=0の点とx=4の点を見て、答えは0-(-8)=8ですね。

問2

（1）

OPの長さを求めるためには点Pの座標が求まればよいのは明らかです。点Pの座標が分からないなら…分からないものは文字で置け！というポイントを思い出してP(p,q)と置きましょう。ここで点Pの位置的にp>0,q<0です。

未知数が2つ現れましたから、式を2つ立てることを目指します。

まずOP=PA、∠OPA＝90°ですから、△OPAは特別角の三角形であることに気づくのは容易ですね。これを利用しないことはあり得ません。よってq=-pであると分かります。

また点Pは関数ｆの上にありますから、q=-\frac{p^2}{2}という式を立てることができます。

よってこの2式を連立してp=2,0となりますが、p>0だったことに気をつければp=2となり、P(2,-2)であると分かりますね。従ってOP=2\sqrt{2}が答えです。

（2）

分からないものは文字で置け！ということでとりあえず点Pの座標をp>0を用いてP(p,-\frac{p^2}{2})と置いてみます。さて、ここからどうしましょうか。

OP=PAとRS:RQ=3:2という情報から、比は軸に飛ばせ！というポイントを連想するのが自然です。とりあえずOP＝PAという条件からA(2p,0), Q(2p,\frac{15}{2})と表せますね。問題はRS:RQ=3:2ですが…この条件に関係している点R,S,Qいずれもはっきり位置が確定していないので、比を軸に飛ばして何かしらの文字で表すというのは少しやりづらそうです。

やりづらそうだなと思ったら、ちょっと落ち着いて他のやり方を探してみましょう。

RS:RQ=3:2を別の角度から見てみると…この条件は、点Sは線分RQを3：2に内分する点である、と言っていることに等しいと気づきます。すると、点Rの座標が分かれば、線分RQの内分点として点Sの座標が出せる、点Sは関数ｆの上にあるから…答えが出せそうですね。では実際に解き進めていきましょう。

点AとPの座標が出せているので直線APの式を出して関数ｆとの交点として点Rの座標を出しても良いですが、計算がだるそうなので少し工夫をします。

点Rの座標が欲しいので、点Rのｘ座標をr(>0)と置きます。この時、点RとPのｘ座標および関数ｆの比例係数から、直線PRの傾きは-\frac{1}{2}(p+r)です。また直線APの傾きは変化の割合から\frac{0-(-\frac{p^2}{2})}{2p-p}=\frac{p}{2}ですね。これら2つの傾きは一致しているはずですから、

-\frac{1}{2}(p+r)=\frac{p}{2} \\ 
\therefore r=-2p

となり、R(2p,-2p^2)と分かりますね。

このように、直線の式と関数ｆの式という情報量の多いもの（傾きや切片など、式1つの中に含んでいる情報が結構ありますよね）から不要な情報をそぎ落とし、必要なものだけ（今回は傾き）で計算すれば、ある程度楽をすることもできます。しかしこれには慣れが必要ですから、ゴリゴリ計算しても求められるくらいの計算力は身につけておいたほうが良いでしょう。

さて少し話が脱線しましたが、実質もうほとんど答えは出ています。方針通りに点RとQの内分点として点Sの座標を求めればS(\frac{2p}{5},-\frac{4}{5}p^2+\frac{9}{2})であり、これが関数ｆの上に乗っていますから、

\begin{aligned}
-\frac{4}{5}p^2+\frac{9}{2}&=-\frac{1}{2}\times \left(\frac{2p}{5}\right)^2\\
\therefore \  p^2&=\frac{25}{4}\\
p>0に注意して\\
\therefore \ p&=\frac{5}{2}
\end{aligned}

よって答えは\frac{5}{2}となります。