前回の記事で、必要に応じて式を「立てる」ということを学びました。
今回と次回は、実際に式を「解く」ことに焦点をあてて学んでいきましょう。
中学で学ぶ基本的な方程式を一貫性をもってまとめ直すことを目標にしたいと思うので、解き方と共に理解もばっちり深めていってくださいね。
中学で学ぶ方程式は、大きく２つに分けられます。解が１つの値に定まるものと、そうでないものです。その違いは何か、それぞれどう解くのか？を、この記事を通してぜひ学んでください。
- ｎ元方程式は、未知数の数を減らして簡単な形にせよ！
- 不定方程式は、変数を活用！
ｎ元ｍ次方程式
ｎ元m次方程式とは、簡単に言えば「未知数がｎ個で、方程式の次数がｍのもの」です。
ｎとｍにはそれぞれ１，２，３などの自然数が入ります。
- x+3=0は１元１次方程式
- 3a+b=4は２元１次方程式
- x^2+y^2+1=0は２元２次方程式
- xy+9x+10z=0は３元２次方程式
- a^3+3a^2+bc+4は３元３次方程式
のような感じです。
次数を数えるとき、１つの文字に注目するのではなく未知数全てで数えることに気を付けてください。（例の４つ目などは、ｘｙがあるから２次なのですね。）
さて、ここまで来れば今まで中学で習ってきた方程式たちが、詳しくはどういう名前なのかが分かるでしょう。
- いわゆる一次方程式は、１元１次方程式のこと
- いわゆる連立方程式は、２元１次方程式を２つ合わせたもの
- いわゆる二次方程式は、１元２次方程式のこと
と、ここまで書きましたが、まぁ要するに呼び方の問題です。別にこれまで通りの呼び方が間違っているというわけではありません。
ではなぜｎ元ｍ次方程式という呼び方を今回教えるのか？
その理由の１つは、こうすることでそれぞれの方程式の単元（中学１年の「方程式」や、中学３年の「二次方程式」など）が、実際はｎ元ｍ次方程式というものの具体例（ｎとｍに具体的な数字を当てはめたもの）であるという見方を持ってもらうためです。こうすることで、バラバラに習ったものを１つのかたまりとして感じることができると思います。
そしてもう１つの理由は、方程式を解く際に「ｎ元ｍ方程式」のｎが特に大事だからです。なぜかと言えば…そう、「未知数の和だけ式を立てろ！」の、未知数の数がまさにｎ元のｎのことだからです。
というわけで以下では、特にｎが具体的にどんな数字をとるか？ということを考えて、方程式を解く際の取り組み方を教えていきましょう。
１元のとき
１元のとき、必要な式は１つだけです。
１元１次の場合は特に言うことは無いでしょう。簡単ですからね。
１元２次のとき…このときは、強いて言うなら「因数分解できないかな…って長時間悩むくらいなら、とっとと解の公式を使え！」というところです。因数分解してから解くやり方ももちろん大事なんですけど、少しでも時間かかりそうだな、と思ったら解の公式を使ってしまうのが実戦上は良いでしょう。
１元２次方程式については、次の次の回でもう少し詳しく扱います。
２元以上のとき
２元以上のとき、というのが厄介であり、また今回の記事の本題でもあります。
まず第一に、ｎ元方程式を解くためには、その式自身を含めてｎ個以上の、同じ未知数を含んだ方程式が必要です
ｎより少ない数しか式が立っていないとき、それは不定方程式といって解けません（次の見出しで扱います）。
ここではとりあえず、ｎ元方程式について同じ未知数を含んだ方程式がｎ個連立できているとしましょう。
このとき、以下がポイントとなります。
- ｎ元方程式は、未知数の数を減らして簡単な形にせよ！
簡単な形というのは、学校で習った方程式の形、つまりいわゆる一次方程式、二次方程式、連立方程式のことです。
数学では、一般的に「難しい問題は、色々いじって知っている形にする」というやり方がよく行われます。知っている形というのはつまり比較的シンプルな、簡単な形ってことです。「一見難しそうだけど、実は知っているものを組み合わせただけでした～」という話ですね。
今回も同じことで、ｎ元ｍ次方程式という難しいものを、解き方の分かる一次方程式とかに変えています。こんな風に考えるとき、これを受験業界の言葉で（数学用語でもあるのかな？）「～の問題に帰着させる」とか言います。～には知っている形の名前が入ります。今回だったら、「一次方程式に帰着させて解く」みたいな言い回しになりますね。
まあ分かりづらいと思うので、ここで例を出しておきましょう。
\left\{
\begin{aligned}
x+y+z+1=0\\
x+2y+3z=0\\
2x+y+z=1
\end{aligned}
\right.未知数３つに式３つなので、これは解くことができます。
例えば、１式目をx=-y-z-1の形にして、それを２式目と３式目に代入すれば、いわゆる連立方程式に帰着しますから解けるはずです。
\left\{
\begin{aligned}
x+y+z+1=0\\
x^2+x+3y=0\\
z=1
\end{aligned}
\right.という式があったとしましょう。
３元１次方程式と、２元２次方程式と、１元１次方程式の組み合わせです。
全体として未知数３つについて式が３つ立っているので、これは解くことができます。
（全体としての未知数の数と、式の数が一致していれば良いので、個々の式が何元何次だろうと問題ないです。全部の式が、全部同じ元の数・次数じゃなきゃいけないわけではありません）
まあｚについてはもう解けているのも同然なので、ｚ＝１を他の２式に代入して未知数の数を減らし、整理しましょう：
\left\{
\begin{aligned}
x+y+2=0\\
x^2+x+3y=0\\
\end{aligned}
\right.これでｚが消えて、未知数は２つになりました。
さてここからどうするか？２式目が１次方程式なら、いわゆる連立方程式になっていたので解けたのですが…そうはいかないみたいです。
というわけで、またポイント通り代入法で未知数を減らしましょう。代入法を使って、１式目をｙ＝の形にして、２式目に代入するのが良さそうです：
\begin{aligned}
&x^2+x+3(-x-2)=0\\
よって\\
&x^2-2x-6=0\\
解の公式より\\
&x=1\pm\sqrt{7}\\
\end{aligned}代入して未知数を減らすことで、二次方程式に帰着させることができました。
あとはこれを他の式に代入すれば：
\left\{
\begin{aligned}
x&=1\pm\sqrt{7}\\
y&=-3\mp\sqrt{7}\\
z&=1
\end{aligned}
\right.となります。
基本的には、例のように代入法で未知数の数をガンガン減らしていくのがセオリーです。
細かいテクニックを使って楽をするパターンというのもまぁもちろんあるのですが、この方針に従っておけば（多少計算が増えたとしても）問題なく解けます。
- 未知数の数だけ式を立てて、
- 原則代入法で未知数を減らし、知っている形に帰着させる。
という考え方をしっかり身につけてください！
不定方程式
さて、前の見出しではｎ個の未知数に対してｎ個の式が立っているときを扱いました。
ここでは式が足りないとき（未知数３つに対して式２つなど）を考えます。
こういう、未知数に対して式の数が足りていない式を、まとめて不定方程式と言うわけですが…なんで「不定」なのかは分かりますね。式の数が足りないため、解が１つの値に「定まらない（不定）」からです。
そんな不定方程式の（１つに定まらない）解ですが、１つの値に定まらないだけで、実はとある形で表すことができます。結論から先に言いましょう：
ｎ個の未知数に対してｒ個の式が立っているとき、その解は(n-r)個の変数を含んだ形で表される。
未知数が変数を使って表されるという、ちょっとややこしい感じになっています（笑）。
未知数と変数の違いは前回扱いましたね。つまり、不定方程式の解は、不定方程式を満たす値の集まりとして表されるわけです。
案の定分かりづらいと思うので、例を挙げましょう
\left\{
\begin{aligned}
x+2y+3z&=10\\
y+5z&=3
\end{aligned}
\right.という式があったとします。未知数３つに対して式２つなので、これは不定方程式です。
この問題では、(3-2=)１個式が足りませんね。
よって、ここが不定方程式のポイントなのですが、未知数を１つ選んで変数に置き換えるということをします。
今回はkという変数を自分で勝手に設定します。（ここは別にsでもtでも、紛らわしくないなら何でも構いません。）
未知数も何でも良いのですが、ここではzをkに置き換えましょう。つまりz=kですね。
大事なことは、未知数ではなく変数というふうに意味を変えることです。
未知数と変数の違いが分かっていないとこの辺厳しいので、前回の復習をしてください。
変数は単なる数の代表なので、ここでは普通の数と同じように扱います。
すると：
\begin{aligned}
&\left\{
\begin{aligned}
x+2y&=10-3k\\
y&=3-5k
\end{aligned}
\right.\\
整理して&z=kを付け加えると、\\
&\left\{
\begin{aligned}
x&=7k+4\\
y&=3-5k\\
z&=k
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}となります。
これが不定方程式の答えです。kが答えに入ってきているのが気持ち悪いですか？（笑）
ではkがきちんと変数として機能していることを確かめてみましょう。
例えばk=1と代入します。すると：
\left\{
\begin{aligned}
x&=11\\
y&=-2\\
z&=1
\end{aligned}
\right.となりますが、これは実際に最初の式を満たします：
\left\{
\begin{aligned}
11+2\times(-2)+3\times1&=10\\
-2+5\times1&=3
\end{aligned}
\right.kの値が変わっても成り立つことを確認してみてください。
上の例では１つしか変数に置き換えていませんが、場合によっては２つでも３つでも構いません。
ある意味、
x+y+z=1
みたいな極端な例でも（実際にこんな問題は出ないと思いますが）不定方程式としてなら解くことができます。
未知数３つに対して式１つなので、(3-1=)２個式が足りません。
よってsとtを変数として、y=s, z=tと置き換えましょう。すると答えは：
\left\{
\begin{aligned}
x&=1-s-t\\
y&=s\\
z&=t
\end{aligned}
\right.と表せます。
以上が不定方程式の基本的な考え方です。ポイントはこんな感じでしょう。
不定方程式は、変数を活用！
今回の宿題
- 中学１年の単元「一次方程式」から計算問題１０問以上
- 中学２年の単元「連立方程式」から計算問題１０問以上
- 中学３年の単元「二次方程式」から計算問題１０問以上
を、今回の説明を意識して解いてみてください。
学校で配られた問題集でも、ネット上の問題でも大丈夫です。
